Можно ли размещать на сайте муниципального учреждения платную рекламу для получения прибыли? Например, официально подключиться к рекламной сети Яндекс (РСЯ). Как насчет соблюдения законодательства в этом случае?

Размещение рекламы (предоставление места для рекламы) с целью получения прибыли является рекламной деятельностью (код 74.40 ОКВЭД). Бюджетные учреждения могут осуществлять  деятельность, приносящую доход, в случаях, если это  способствует достижению целей создания учреждения и соответствует этим целям.
При этом такая деятельность должна быть указана в учредительных документах организации. 
Доходы, полученные от такой деятельности,как и приобретенное за счет этих доходов имущество поступают в самостоятельное распоряжение бюджетного учреждения.

1.Гражданский кодекс Российской Федерации. Часть 1 «Статья 298. Распоряжение имуществом учреждения Бюджетное учреждение вправе осуществлять приносящую доходы деятельность лишь постольку, поскольку это служит достижению целей, ради которых оно создано, и соответствующую этим целям, при условии, что такая деятельность указана в его учредительных документах.* Доходы, полученные от такой деятельности, и приобретенное за счет этих доходов имущество поступают в самостоятельное распоряжение бюджетного учреждения.»

2.Федеральный закон от 12.01.1996 № 7-ФЗ «О некоммерческих организациях» «Статья 9.2. Бюджетное учреждение <...> 4. Бюджетное учреждение вправе сверх установленного государственного (муниципального) задания, а также в случаях, определенных федеральными законами, в пределах установленного государственного (муниципального) задания выполнять работы, оказывать услуги, относящиеся к его основным видам деятельности, предусмотренным его учредительным документом, в сферах, указанных в пункте 1 настоящей статьи, для граждан и юридических лиц за плату и на одинаковых при оказании одних и тех же услуг условиях. Порядок определения указанной платы устанавливается соответствующим органом, осуществляющим функции и полномочия учредителя, если иное не предусмотрено федеральным законом. Бюджетное учреждение вправе осуществлять иные виды деятельности, не являющиеся основными видами деятельности, лишь постольку, поскольку это служит достижению целей, ради которых оно создано, и соответствующие указанным целям, при условии, что такая деятельность указана в его учредительных документах.*»

Например, теоретически библиотека можете размещать рекламу книжных новинок, а медорганизация — медицинских препаратов, но поскольку контролировать содержание объявлений РСЯ, публикуемых на вашем сайте, невозможно, то не рекомендуется ставить рекламные блоки сторонних организаций, даже если у вашей организации есть код ОКВЭД 74.40. В то же время, вы можете бесплатно размещать баннеры социальных, благотворительных, общественных проектов, а также информацию. которая "способствует достижению целей создания учреждения и соответствует этим целям". Взимать плату за это и использовать эти средства на нужды учреждения можно  при наличии ОКВЭД 74.40.